Zadanie15

Szesnastu rybaków podzieliło się na trzy grupy A, B, C. Każdy rybak z grupy A złowił 13 ryb, z grupy B pięć ryb, a z grupy C cztery ryby. Łącznie złowili 113 ryb. Ile rybaków było w grupie B?

rozwiązanie
x - liczba rybaków z grupy A
y - liczba rybaków z grupy B
z - liczba rybaków z grupy C

x + y + z = 16
13x + 5y + 4z = 113

Od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie pomnożone przez 4 i otrzymujemy równanie 9x + y = 49
Z tego równania wynika, że 9x ≤ 49, więc x ≤ 5
Z drugiej strony x + y < 16, zatem
49 = x + y + 8x < 16 + 8x
Stąd 49 < 16 + 8x,
8x > 33,
x > 4

Z nierówności wynika, że x = 5.
Zatem y = 4, a z = 7.
W grupie B było 4 rybaków.

Zadanie14

Znajdź trzy takie liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem innej liczby.

Rozwiązanie zadania
Liczby te to: 80, 320, 41.
80 + 320 + 41 = 441 = 212
Suma każdej pary tych liczb jest również kwadratem:
320 + 80 = 400 = 202
320 + 41 = 361 = 192
80 + 41 = 121 = 112


Jak Diofantos znalazł te liczby?
Założył, że a + b + c = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
a + b = x2
b + c = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2

Z tych równań wyznaczył a = 4x oraz c = 2x + 1, skad a + c = 6x + 1. Biorąc pod uwagę, że a + c jest kwadratem innej liczby, x może mieć wartość równą tylko 20.

Zadanie13

Na łące rośnie trawa. 60 krów mogłoby paść się na tej łące przez 14 dni, a 50 krów przez 28 dni. Ile krów mogłoby paść się na tej łące stale, dzięki ciągle odrastającej trawie?

Rozwiązanie zadania

Niech początkowy zapas trawy wynosi t. W ciągu jednego dnia odrasta x trawy, zaś jedna krowa zjada w ciągu jednego dnia y trawy. Mamy więc
t + 14x = 60 · 14y oraz t +28x = 50 · 28y.
Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy:
14x = (50 · 28 - 60 · 14)y = 10 · 14 · y(10 - 6) = 40 · 14y, a stąd x = 40y.
Mamy więc: t = 60 · 14y - 14 · 40y = 14 · 20y = 7 · 40y = 7x.
Z powyższych obliczeń wynika, że 40 krów mogłoby paść się na tej łące.

Zadanie12

Jacek przechowuje swoje oszczędności w monetach dwu i pięciozłotowych. Wartość monet dwuzłotowych stanowi 35% jego oszczędności. Ile dwuzłotówek ma Jacek, jeśli pięciozłotówek ma 26.

rozwiązanie
x - liczba monet dwuzłotowych
y - liczba monet pięciozłotowych
y = 26
2x - wartość monet dwuzłotowych
5y - wartość monet pięciozłotowych
5y = 130
2x + 5y = 2x + 130 - wartość oszczędności
2x = 35% z (2x + 130)
2x = 0,35 (2x + 130)
2x = 0,7x + 45,5
2x - 0,7x = 45,5
1,3x = 45,5
x = 35
Jacek posiada 35 monet dwuzłotowych.

Ernest Miller Hemingway (ur. 21 lipca 1899 w Oak Park w stanie Illinois w USA, zm. 2 lipca 1961 w Ketchum w stanie Idaho) – pisarz amerykański, wybitny prozaik. Został laureatem Nagrody Nobla w dziedzinie literatury w roku 1954 za opowiadanie "Stary człowiek i morze". Miał pięcioro rodzeństwa: cztery siostry i brata.

Jego pierwsze utwory literackie powstawały już w szkole, gdzie był redaktorem szkolnej gazetki. Później, po ukończeniu szkoły został dziennikarzem gazety "Star" z Kansas City. Już w latach 20. należał do Awangardy Literackiej. W roku 1918 rozpoczął swoje podróże. Wbrew woli ojca chciał się zaciągnąć do armii amerykańskiej, jednak nie został przyjęty ze względu na stan zdrowia, zaciągnął się więc do Czerwonego Krzyża i poprzez Paryż znalazł się na froncie włoskim. 8 lipca 1918 roku wynosząc poszkodowanego żołnierza z linii frontu został ciężko ranny. Powrócił do Ameryki w 1920 i zaczął pracować dla gazety Toronto Star jako dziennikarz i korespondent zagraniczny. Tam poznał Morleya Callaghana, który także pracował jako początkujący reporter dla tej samej gazety. Obaj zamieszkali w paryskiej dzielnicy Montparnasse wraz z Francisem S. Fitzgeraldem i innymi artystami, którzy opuścili Stany Zjednoczone i zamieszkali w Europie.

Brał udział w pierwszej wojnie światowej oraz w wojnie domowej w Hiszpanii po stronie republikanów. W czasie tej ostatniej poznał i zaprzyjaźnił się m.in. z gen. Karolem Świerczewskim. Jego pobyt w Hiszpanii zaowocował wydaniem w 1940 roku jednej z jego najbardziej znanych powieści Komu bije dzwon.

Jego mottem przewodnim było "Należy dobrze walczyć, nawet w przegranej sprawie." Popełnił samobójstwo strzelając sobie w usta z dubeltówki. Są dwie tezy odnośnie przyczyny tego zachowania: pierwsza - że chciał sam decydować o swoim losie i sam wybrać moment, kiedy to pożegna się z tym światem, natomiast druga - że osiągnął już wszystko, co mógł w życiu osiągnąć (był bogaty, sławny i szczęśliwy), więc mogłoby mu się przydarzyć już tylko nieszczęście, czego chciał uniknąć. Życie uważał za grę, którą wygrał i w odpowiednim momencie zakończył.

Wydaje się jednak bardziej prawdopodobne, że samobójcza śmierć pisarza była wynikiem choroby afektywnej dwubiegunowej, zwanej dawniej psychozą maniakalno-depresyjną, na którą pisarz chorował. Fazie depresyjnej tej choroby towarzyszą często głębokie myśli o charakterze nihilistycznym, a także myśli samobójcze, które realizują się niekiedy w postaci działań autodestrukcyjnych.

Zadanie11

Na łące rośnie trawa. 60 krów mogłoby paść się na tej łące przez 14 dni, a 50 krów przez 28 dni. Ile krów mogłoby paść się na tej łące stale, dzięki ciągle odrastającej trawie?

Rozwiązanie zadania

Niech początkowy zapas trawy wynosi t. W ciągu jednego dnia odrasta x trawy, zaś jedna krowa zjada w ciągu jednego dnia y trawy. Mamy więc
t + 14x = 60 · 14y oraz t +28x = 50 · 28y.
Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy:
14x = (50 · 28 - 60 · 14)y = 10 · 14 · y(10 - 6) = 40 · 14y, a stąd x = 40y.
Mamy więc: t = 60 · 14y - 14 · 40y = 14 · 20y = 7 · 40y = 7x.
Z powyższych obliczeń wynika, że 40 krów mogłoby paść się na tej łące.

Zadanie10

W pobliżu brzegu stoi okręt ze spuszczoną po burcie drabinką linową. Drabinka ma 10 stopni, a odległość między nimi wynosi 30 cm. Najniższy stopień styka się z powierzchnią wody. Ocean jest tego dnia bardzo spokojny, zaczyna się jednak przypływ, który podnosi poziom wody o 15 cm na godzinę.
Po ilu godzinach powierzchnia wody dosięgnie trzeciego stopnia drabinki?

Rozwiązanie
Nigdy nie dosięgnie trzeciego stopnia drabinki, ponieważ statek unosi się wraz w przypływem.