Zadanie14

Znajdź trzy takie liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem innej liczby.

Rozwiązanie zadania
Liczby te to: 80, 320, 41.
80 + 320 + 41 = 441 = 212
Suma każdej pary tych liczb jest również kwadratem:
320 + 80 = 400 = 202
320 + 41 = 361 = 192
80 + 41 = 121 = 112


Jak Diofantos znalazł te liczby?
Założył, że a + b + c = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
a + b = x2
b + c = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2

Z tych równań wyznaczył a = 4x oraz c = 2x + 1, skad a + c = 6x + 1. Biorąc pod uwagę, że a + c jest kwadratem innej liczby, x może mieć wartość równą tylko 20.